Născut la Creteil, Damien a trecut în perioada junioratului și pe la Clairefontaine, renumitul centru francez de fotbal, după care și-a făcut debutul în fotbalul mare la Valenciennes. A urmat transferul în Belgia, unde a evoluat timp de cinci sezoane pentru Standard Liege și St. Truiden, iar în 2019 a ajuns în România, la Dinamo.

După numai o jumătate de sezon, Dussaut a fost transferat la Farul Constanța, acolo unde a fost om de bază în sezonul trecut, cu 30 de meciuri jucate în campionat.

De origine franceză, Dussaut a debutat și pentru naționala statului Martinica în partida cu Costa Rica (0-2), când a jucat 67 de minute contra formației calificate la Mondialul din Qatar, în CONCACAF Nations League.

Fundașul Rapidului a avut șansa de a evolua și pentru naționalele de juniori ale Franței, U20 și U19, bifând 6 jocuri pentru cele două, câștigând în 2015 puternicul Turneu de la Toulon, cu echipa U20 a „cocoșului galic”.